作者：杭州弹簧有限公司    李和平    高级工程师

弹簧产品量大面广，从高科技的人造卫星、航天飞机到门类齐全的家用电器（如冰箱、洗衣机等），各行各业，琳琅满目，遍布于国民经济的各个领域。由于弹簧产品在各类高精尖的设备及装置中起着减振、减噪、缓冲、储能、能量变换等作用，故弹簧产品的质量十分重要，弹簧产品的质量特性数据也十分繁多。如何收集、整理、分析、利用弹簧制造过程中产生的各类质量特性数据，以指导我们各类弹簧的制造过程，进一步监控弹簧产品的过程质量，获得理想的产品质量特性，就是本文要介绍的内容（限于篇幅，本文主要介绍常用的计量值质量特性数据的分析方法）。

一、概述

1、质量

按照GB/T19000-2008 idt ISO9000：2005《质量管理体系 基础和术语》中的定义，质量是“一组固有特性满足要求的程度”。

特性指“可区分的特征”，可以有多种类别的特性，如物理特性(弹簧的机械性能)；感官特性(弹簧的表观质量)；功能特性(弹簧的工作负荷)以及时间特性(弹簧的疲劳寿命)等。

(1) 关于“固有特性”

①特性可以是固有的或赋予的。“固有的”就是指产品本身就具有的永久的特性。如弹簧的尺寸、精度、负荷及疲劳寿命等技术特性。

②赋予特性不是固有的，而是完成产品后因不同的要求而对产品所增加的特性，如弹簧产品的价格、供货时间、包装要求及售后服务要求等特性。

③产品的固有特性与赋予特性是相对的，某些产品赋予特性可能是另一些产品的固有特性，例如：供货时间及贮运方式对弹簧制造而言，属于赋予特性，但对运输服务而言，就属于固有特性。

(2) 关于“要求”

要求指“明示的、通常隐含的或必须履行的需求或期望”。

①“明示的”可以理解为是规定的要求。如在文件中阐明的要求或顾客明确提出的要求。

②“通常隐含的”是指组织、顾客和其他相关方的惯例或一般做法，所考虑的需求或期望是不言而喻的。例如：弹簧产品表面不应带有可能划伤顾客皮肤的锐边及毛刺等。

③如汽车产品(包括主要零部件)，国家规定实行3C认证的质量特性项目等。

④要求可以由不同的相关方提出，不同的相关方对同一产品的要求可能是不同的。例如：对汽车来说，顾客要求美观、舒适、轻便、省油，但社会要求对环境不产生污染。组织在确定产品要求时，应兼顾各相关方的要求。

要求可以是多方面的，当需要特指时，应明确表示，如产品要求、质量管理体系要求、顾客要求等。

2、质量特性的分类

根据对顾客满意的影响程度不同，应对质量特性进行分类管理。常用的质量特性分类方法是将质量特性划分为关键、重要和次要三类，它们分别是：

关键质量特性，是指若超过规定的特性值要求，会直接影响产品安全性或产品基本功能丧失的质量特性。

重要质量特性，是指若超过规定的特性值要求，将造成产品部分功能丧失的质量特性。

次要质量特性，是指若超过规定的特性值要求，对产品功能的丧失影响轻微，或者可能会引起产品功能的逐渐丧失。

3、质量控制

质量控制是质量管理的一部分，致力于满足质量要求。

质量控制适用于产品的设计、生产原料的采购、产品和服务的提供、市场营销、人才资源的配置，涉及组织内几乎所有的活动。质量控制的目的是保证产品质量满足要求。为此，要解决要求(标准)是什么、如何实现(过程)、需要对哪些因素进行控制等问题。

质量控制是一个设定标准(根据质量要求)、测量结果、判定是否达到了预期要求，对质量问题采取措施进行补救并防止再发生的过程，质量控制不仅仅是检验，如在生产前对生产过程进行评审和评价的过程也是质量控制的一个组成部分。总之，质量控制是一个确保生产出来的产品满足要求的过程。例如，为了控制采购过程的质量，采取的控制措施可以有：确定采购文件(规定采购的产品及其质量要求)，通过评定选择合格的供货单位，规定对进货质量的验证方法，做好相关质量记录的保管并定期进行业绩分析。为了选择合格的供货单位而采用的评定方法可以有：评价候选供货单位的质量管理体系、检验其产品样品、小批试用、考察其业绩等。再如，为了控制某生产过程，可以通过作业指导书规定该生产过程使用的设备、工艺装备、加工方法、检验方法等，对特殊过程或关键过程还可以采取控制图法监视并控制其质量的波动情况。

二、产品质量特性数据

1、质量特性数据分类

将检测产品质量特性值所得结果用数字记录下来，便得到质量特性值数据，简称质量特性数据(也称质量指标值)。

质量特性数据按质量指标获取方式的不同可以分为两类。

(1) 计数值

当质量特性数据只能取一个特定的数值，而不能连续取值时，比如只能取0，1，2，3……时称为计数值。计数值可以细分为以下两种。

①计件值

对产品按件进行检验时所获得的数值。比如，不合格品数、废品数、返工件数、返修件数等以及由此而产生的不合格品率、等级品率等数值。

②计点值

每件产品上的质量缺陷个数。如弹簧钢丝材料上的拉丝、节点、麻坑、小弯等缺陷数。

(2) 计量值

当质量特性值在一个给定的范围内可以连续取值时所得到的一系列数据，一般还可以带有小数，小数点后的数据可连续细分。例如，用游标卡尺测量一批弹簧的外径，所得结果是40.11 mm、40.12 mm、40.13mm……。若用更精确的仪器测量，所得结果可以进一步细化地连续取值。

2、质量特性数据的特点

对产品进行检测所得质量特性数据的特点，是具有分散性(或称波动性或变异性)。

例如：在电脑卷簧机上加工一批弹簧，要求保证的外径尺寸是42±0.15mm。用游标卡尺测量所得结果为41.90 mm、41.91 mm、41.92mm … 42.08 mm、42.09 mm、42.10 mm … 。可见，这批弹簧的外径实际尺寸彼此大小不一，在一定范围内是分散的，其中最大的42.10mm，最小的41.90mm，平均尺寸是41.99mm。

弹簧实际尺寸相对于要求的基本尺寸产生偏差，是由于加工过程中各种因素分别或综合造成的误差所致。例如钢丝材料成分和物理机械性能不均匀，工艺系统(卷簧机、机具和工件)受力变形、热变形、振动，卷簧机和机具的制造误差及磨损，工艺系统的调整误差，操作工人的工作误差，测量方法和测量器具本身固有的误差以及读数误差，环境条件的变化(如温度变化)等等。由于这些因素的影响，由同一检验人员用同一测量器具，检测同一工人在同一卷簧机上先后加工出的同一批弹簧的同一参数(如外径)，所得到的结果(数据)不可能完全相同。甚至同一检验人员用同一测量器具多次检验同一弹簧的同一参数，所得结果也不一定完全相同。

由各种因素引起的工件质量特性值误差，可分为偶然误差和系统误差。

偶然误差(或称随机误差)，它是由一些偶然(随机)性的原因引起的误差。例如同一批弹簧钢丝经过热处理(油淬火回火)后，其金相组织和强度、硬度不均匀，卷制时的卷曲力和工艺系统弹性变形大小也就不同，卷出来的弹簧就有可能长度不一，负荷不一。

引起偶然性误差的各种因素的影响程度彼此不一样，也不一定同时起作用，所以偶然误差的大小和方向变化不定，使产品的质量特性值数据具有分散性。

系统误差，它是由某一特定因素引起的大小和方向不变或大小按一定规律变化的误差。例如前述弹簧卷制时的安装调整误差，使卷制出的一批弹簧直径都产生偏大的误差，数值大小基本不变和方向不变，所以又称为常值系统误差。又如磨簧机在磨同一批弹簧时，因砂轮磨损，且磨损速度过快、磨损量过大，使连续加工出的一批弹簧的高度逐个增大一定的数值，则称为变值系统误差。

质量特性数据中，可能偶然出现个别偏差很大的数值，这可能是加工过程偶然发生的异常现象，如测量器具失准或测量时读数偏大或偏小等原因引起的，所以又称为过失误差。

产品质量特性数据是波动的，存在变异。对收集到的产品质量特性数据，应进行适当处理，区分误差的类型，分析引起误差的原因，掌握其规律，及时采取有效的工艺技术措施，消除或减小其所引起的误差，达到保证和提高产品质量的目的。

质量特性数据是统计分析的依据，在产品质量控制工作中，必须认真做好数据的收集。①首先要保证所记录数据的客观真实性，要如实地记录，不能凭主观臆断改变实际数据；②其次，要预先准备好合适的记录表格，详细记录检测对象和编号、检测项目、所用测量方法和器具、测量读数值、检测人员、时间、地点、环境条件(气温)等，以保证统计分析的顺利进行和结果的可靠性。

3、质量特性数据的收集

质量特性数据是控制产品质量和改善产品质量的唯一依据，为此，对数据的收集应注意以下事项：

(1) 明确收集数据的目的

对于不同目的的数据收集，往往要用不同的收集方法和处理方法。因此，必须首先明确收集的目的。收集数据的目的有：调查工艺能力；查找质量问题产生的原因；控制加工过程的稳定性；预防出现废品；通过抽样检查判断一批产品质量的好坏等。

(2) 采用随机抽样

收集的数据能否具有代表性，能否客观地反映实际质量信息，在很大程度上取决于收集数据的方法。为确保数据具有代表性，排除人为干预，随机抽样是行之有效的收集数据的方法。在产品抽样时，保证产品批中每个单位产品都有被抽取的均等机会，排除了“专挑好的”和“仅拣次的”倾向，这就是随机抽样。

常用的随机抽样方法有：

①简单随机抽样

这种方法就是通常所说的随机抽样法，之所以叫简单随机抽样法，就是指总体中的每个个体被抽到的机会是相同的。为实现抽样的随机化，可采用抽签(或抓阄)、查随机数值表，或掷随机数骰子等办法。例如，要从100件弹簧中随机抽取10件组成样本，可把这100件弹簧从1开始编号一直编到100号，然后用抽签(或抓阄)的办法，任意抽出10张，假如抽到的编号是3、7、15、18、23、35、46、51、72、89等10个，于是就把这10个编号的弹簧拿出来组成样本，这就是简单随机抽样法。这个办法的优点是抽样误差小，缺点是抽样手续比较繁杂。在实际工作中，真正做到总体中的每个个体被抽到的机会完全一样是不容易的，这往往是由各种客观条件和主观心理等许多因素综合影响造成的。

②系统抽样法

系统抽样法又叫等距抽样法或机械抽样法。例如，要从100件弹簧中抽取10件组成样本，首先将100件弹簧按1，2，3，…，100顺序编号；然后用抽签或查随机数表的方法确定1～10号中的哪一件弹簧入选样本(此处假定是3号)；进而，其余依次入选样本的弹簧编号是：13号、23号、33号、43号、53号、63号、73号、83号、93号；最后由编号为03、13、23、33、43、53、63、73、83、93的10件弹簧组成样本。

由于系统抽样法操作简便，实施起来不易出差错，因而在生产现场人们乐于使用它。如在某道工序上定时去抽一件弹簧进行检验，就可以看做是系统抽样的一个例子。

③分层抽样法

分层抽样法也叫类型抽样法。它是从一个可以分成不同子总体(或称为层)的总体中，按规定的比例从不同层中随机抽取样品(个体)的方法。比如，有甲、乙、丙三个工人在同一台卷簧机上倒班卷制同一种弹簧，他们卷制完成的弹簧分别存放在三个产品箱内，如果现在要求抽取15个弹簧组成样本，采用分层抽样法，应从存放弹簧的三个产品箱内分别随机抽取5个弹簧，合起来一共15个弹簧组成样本。这种抽样方法的优点是，样本的代表性比较好，抽样误差比较小。缺点是抽样手续较简单随机抽样还要繁些。

④整群抽样法

整群抽样法是将总体分成许多群，每个群由个体按一定方法结合而成，然后随机地抽取若干群，并由这些群中的所有个体组成样本。这种抽样法的背景是：有时为了实施上的方便，常以群体(公司、工厂、车间、班组、工序或一段时间内生产的一批产品等)为单位进行抽样，抽到的群体就全检。这种抽样方法的优点是抽样实施方便。缺点是由于样本只来自个别几个群体，而不能均匀地分布在总体中，因而代表性差，抽样误差大。这种方法常用在工序控制中。

在此举一个例子来说明这4种抽样方法的运用。

例1：假设有某种弹簧产品分别装在20个包装箱中，每箱各装50个，总共是1000个。如果想从中取100个弹簧组成样本进行测试研究，那么应该怎样运用上述4种抽样方法呢？

①将20箱弹簧倒在一起，混合均匀，并将弹簧从1～1000一一编号，然后用查随机数表或抽签的办法从中抽出编号毫无规律的100个弹簧组成样本，这就是简单随机抽样。

②将20箱弹簧倒在一起，混合均匀，将弹簧从1～1000逐一编号，然后用查随机数表或抽签的办法先决定起始编号，比如16号，那么后面入选样本的弹簧编号依次为26，36，46，56，…，906，916，926，…996，06。于是就由这样100个弹簧组成样本，这就是系统抽样。

③对所有20箱弹簧，每箱都随机抽出5个弹簧，共100件组成样本，这就是分层抽样。

④先从20箱弹簧随机抽出2箱，然后对这2箱弹簧进行全数检查，即把这2箱弹簧看成是“整群”，由它们组成样本，这就是整群抽样。

三、质量特性数据的统计分析

收集数据的目的在于掌握质量现状，分析问题原因，采取措施以改善并控制质量。对质量特性数据进行统计分析，是产品质量控制中的一项基础工作。统计分析时，一般要求产品的批量足够大，长时间重复生产，测试所得的质量特性数据具有随机性，而且结合生产工艺的实际情况，才能有效地控制生产过程和产品质量。

（一）、个体、总体和样本

个体(单位产品)：要研究分析的客观事物的一个基本单位。例如，研究分析在一定条件下生产出的一批弹簧产品的质量，其每一个弹簧就是一个个体。

总体(母体)：要研究分析的客观事物的全体。总体可以是一批产品(由于一批产品的数量是有限的，故称有限总体)，也可以是一道工序所生产的所有产品(由于工序在源源不断地运行，总体甚至也包含今后的产品，故称无限母体)。

样本(子样)：从总体中抽取一部分个体。样本能提供关于总体的信息，作为对总体(或产生该总体的过程)特性进行分析推断的依据和基础。

从总体中抽取样本的过程，称为抽样，样本中所包含的个体数目称为样本容量，通常以n表示。为了能根据样本推断总体的特性，样本应能提供关于总体的、客观的、完全的信息。为此，应进行随机抽样，使总体中每一个体都有被抽取的同等可能性。

在统计分析中，有时要从总体中抽取许多个样本。因此，样本(个)数和样本容量(大小)是两个不同的概念。

（二）、直方图

直方图是用于对大量计量值数据进行整理加工，找出其统计规律，即分析数据分布的形态，以便对其总体的分布特征进行统计推断的方法。主要图形为直角坐标系中若干顺序排列的矩形，各矩形底边相等，为数据区间。矩形的高为数据落入各相应区间的频数或频率。

直方图的制作过程一般可分为八个步骤，下面通过一个案例加以说明。

例2  生产某种弹簧，要求其外径x为Φ15.0±1.0(mm)，试用直方图法对生产过程进行统计分析。

1. 收集数据

在5MIE(人、机、料、法、环、测)充分稳定并加以标准化的情况下，从该生产过程收集n个数据。n应不小于50，最好在100以上。

本例测得50个弹簧的外径如表1：

表1                               弹簧的外径x                     (单位：mm)

注：1)U_i 为第i行数据的最大值；   2)L_i为第i行数据的最小值。

2. 找出所有数据中的最大值U、最小值L并计算其极差R

            R=U－L=15.9－14.2=1.7

3. 确定数据的大致分组数k

建议分组数参照表2选取：

表2                              分组数参照表

本例取k=6

经验证明，组数太少会掩盖各组内数据的变动情况；组数太多会使各组的高度参差不齐，从而看不出明显的规律。

4. 确定各组组距h

5. 计算各组上、下限

首先确定第一组下限值，应注意使最小值S被包含在第一组中，且使数据观测值不落在上、下限值上。故第一组下限值取为：

L－=14.2－0.15=14.05

然后依次加入组距h，即可得到各组上、下限值。第一组的上限值为第二组的下限值，第二组的下限值加上h为第二组的上限值，依次类推，最后一组应包含最大值U。

各组上、下限值见表3。

6. 计算各组中心值(组中值)bi

各组的中心值，按下式计算

本例各组中心值见表3。

表3                            频数(频率)分布表

7. 制作频数(频率)分布表

频数fi就是n个数据中落入第i组的数据个数，而频率pi=fi/n 。

8. 绘制直方图

以频数(或频率)为纵坐标，数据观测值为横坐标，以组距为底边，数据观测值落入各组的频数fi(或频率pi)为高，画出一系列矩形，这样得到的图形为频数(或频率)直方图，简称为直方图，见图1。在图的右上方记上数据个数，并在图上标明标准界限。

图1  频数(频率)直方图

9. 直方图显示出的主要特性参数

(1) 平均值

用以表明全部数据分布的中心位置。假设有数值为x₁，x₂，x₃，…，xn的一组数据，其数据个数为n。则作为直方图的平均值 是该组数值的算术平均。

                               (公式1)

(2) 极差R

用以表明一批数据的分散程度。极差R的定义是一批数据中最大值x_max与最小值x_min之差：

R=x_max－x_min                                                    (公式2)

用极差表示分散程度是比较粗略的。

(3) 标准偏差S

用以表明一批数据分散程度的另一参数。当数据的个数n较大时，标准偏差按公式3计算：

             (公式3)

当n较小时，标准偏差按公式4计算：

                                                     (公式4)

公式3与公式4相比，实际上，当n大时，二者相差不多。

用标准偏差s表示分散程度，比用极差R表示更加精确。举例说明，今取得两组数据：

Ⅰ— 50，50，50，50，100；   

Ⅱ— 40，50，60，60，90。

计算它们的极差，则得到

RⅠ = 100－50 = 50

RⅡ = 90－40 = 50     

可见，从极差的尺度看，两组数据的分散程度相同。然而从数据的实际情况看，两组数据的分布状况却不相同：

计算其标准偏差，则

s_I= = 22.4

s_Ⅱ= = 18.7

于是，两组数据的分散程度的差异就清楚地显露出来了(因此，当样本大小n＞10时，规定R控制图不可用，而标准差则不然)。

从直方图可以直观地看出产品质量特性的分布形态，便于判断过程是否处于受控状态，以决定是否采取相应对策措施。我们可从观察图形本身的形状，并与标准(公差)相比较，从而得出结论。

(1) 判断分布类型

直方图从分布类型上来说，可分为正常型和异常型。

正常型是指过程处于稳定(统计控制状态)的图型。它的形状是“中间高、两边低，左右近似对称。”“近似”是指一般直方图多少有点参差不齐，主要看整体形状。如图2即为正常型直方图，这是观测值来自正态总体的必要条件。

作完直方图后，首先要判断它是正常型还是异常型。如果是异常型，还要进一步判断它属于哪类异常型，以便分析原因，加以处理。

下面介绍六种异常型频数直方图。

①孤岛型(图3)

在直方图旁边有孤立的小岛出现。

图2 正常型直方图                       图3 孤岛型直方图

当过程中有异常原因，例如，在短期内材料发生变化，由不熟练工人替班加工，测量有错误等，都会造成孤岛型分布。此时应查明原因，采取措施。

②双峰型(图4)

直方图中出现两个峰(正常状态只有一个峰)，这是由于观测值来自两个总体、两种分布，数据混合在一起造成的。例如，两台有一定差别的设备(或两种材料)所生产的弹簧产品混在一起，或者两条生产线的弹簧产品混在一起。此时应当加以分层。

③折齿型(图5)

直方图出现凹凸不平的形状。这是由于作直方图时数据分组太多，测量仪器误差过大，或观测数据不准确等造成的。此时应重新收集和整理数据。

图4 双峰型直方图                              图5 折齿型直方图

④陡壁型(图6)

直方图像高山上的陡壁，向一边倾斜。

通常在产品质量较差时，为得到符合标准的产品，需要进行全数检查，以剔除不合格品。当用剔除了不合格品的产品数据作频数直方图时容易产生这种陡壁型，这是一种非自然形态。

标准范围                                标准范围

图6 陡壁型直方图                         

⑤偏态型(图7)

直方图的顶峰偏向一侧，有时偏左，有时偏右。

a.由于某种原因使下限受到限制时，容易发生“偏左型”。例如，用标准值控制下限，或由于加工习惯(如：孔加工往往偏小)，都会形成偏左型，如图7(a)。

b.由于某种原因使上限受到限制时，容易发生“偏右型”。例如，用标准值控制上限，或由于加工习惯(如：轴外圆加工往往偏大)，都会形成偏右型，如图7(b)。

     (a) 偏左                                   (b) 偏右

                                   图7-7 偏态型直方图

⑥平顶型(图8)

直方图没有突出的顶峰，呈平顶型。一般可能是以下原因造成的。

a.与双峰型类似，由于多个总体、多种分布混在一起。

b.由于生产过程中某种缓慢的倾向在起作用，如工具的磨损、操作者的疲劳等。

                                                      T        

                                               B

图8 平顶型直方图                        T_L                      T_u

 图9理想直方图

(2) 直方图与规格范围比较

①观测值分布符合规格的直方图有以下几种情况

a. 散布范围B在规格范围T=[T_L，T_u]内，两边略有余量，是理想直方图，如图9。

b. B位于T内，一边有余量，一边重合，分布中心偏移规格中心。这时应采取措施使两者重合，否则一侧无余量，稍不注意就会超差，出现不合格品，如图10。

                T                              T

               B                                  B

      T_L                       T_u           T_L                       T_u

(a)分布中心左偏                   (b)分布中心右偏

图10

c. B与T完全一致，由于两侧无余量，很容易出现不合格品，应加强管理，设法提高过程能力，如图11。

②观测值分布不符合规格的直方图有以下情况

a. 分布中心偏移规格中心，一侧超出规格范围，出现不合格品，如图12，这时应减少偏移，使两者重合，消除不合格品。

             T                                           T

             B                                       B

    T_L                      T_u                        T_L       U               T_u

             图11                                       图12

b. 散布范围B大于T，两侧超出规格范围，均出现不合格品，如图13，这时应缩小产品质量散布范围。

                                    T                      

                                     B                                 

                                T_L          U       T_u               

图13

（三）、正态分布

1、正态分布的概念

当生产过程正常时，计量特性值数据的频率直方图应是中间高，两边低，左右概略对称的图形，这种分布规律称为正态分布。“正态”两字，意为正常状态下的分布。

如果我们以一条光滑的、单峰的、左右对称的曲线来取代正常形态的频率直方图，使得曲线与x轴所围的面积与频率直方图的面积基本相等，即均等于100%。此曲线称为正态密度曲线(见图14)。

                              图14 正态密度曲线

2、正态分布的密度函数

(1) 密度函数

正态分布密度曲线的函数表达式如下式所示：

                                         (公式5)

该函数称之为正态分布的密度函数，它具有如下性质：

① 非负性f(x)≥0  ② 归一性  ③ 对称性f(μ+x)=f(μ－x)

(2) 参数μ和σ的意义

①几何意义

μ为位置参数，是分布中心。密度曲线右移μ变大，密度曲线左移μ变小。

σ为形状参数，σ越大密度曲线越平坦，σ越小密度曲线越陡峭。

② 物理意义

μ是数据的总平均值，σ是数据散布标准差。σ大则反映数据差别大，σ小则反映数据差别小。

今后我们以X～N(μ，σ²)表示质量特性值X服从均值为μ，标准差为σ的正态分布。

(3) 参数μ和σ的估计

①数据不分组时

若质量特性值X的n个观测值为X₁，X₂，…，X_n，则

；                                                              

此外，当n≤10时，μ可以用中位数估计，=。另一方面σ还可以用极差法估计，即 =R/d₂，式中，R为n个数据的极差，即最大值减最小值，d₂可从《计量值控制图系数表》中查得（详见参考文献）。

例3  从一批弹簧中随机抽取5个，测量其长度，得数据如下(单位：mm)

14.5   14.1   13.1   13.5   14.8

若弹簧长度X服从正态分布N(μ，σ²)，求μ，σ的估计值。

①μ的估计

=(14.5+14.1+13.1+13.5+14.8)=14.0(mm)，或者==14.1

②σ的估计

=

=0.70(mm)

或者    =R/d₂

由n=5，查表得      d₂=2.326

所以  =(14.8－13.1)/2.326=0.73(mm)

②数据分组时

当质量特性值X的观测值个数n≥50时，常常分成k组，记每组的组中值为bi，每组观测值的个数即频数为fi，则μ，σ的估算公式为：                                

                                          (公式6)

                              (公式7)

例4  已知弹簧外径X服从正态分布N(μ，σ₂)，测得其50个观测值如表1，求μ，σ的估计值。

①μ的估计    

=(3×14.2＋5×14.5＋…＋2×16.0)=15.1(mm)

②σ的估计 

=

=0.44(mm)

3、标准正态分布

μ=0，σ=1的正态分布N(0，1)称之为标准正态分布。

(1) 密度函数                                            (公式8)

(2) 分布函数                                     (公式9)

称之为标准正态分布的分布函数，其数值可查《正态分布函数表》（详见参考文献）。

Φ(u)具有如下性质：

Φ(0)=0.5                                          (公式10)

Φ(－∞)=0                                         (公式11)

Φ(∞)=1                                           (公式12)

Φ(－u)=1－Φ(u)                                   (公式13)

(3) 概率计算公式

我们可以利用Φ(u)的数值表，计算一般的正态变量X在某区间内取值的概率，若质量特性值X～N(μ，σ²)，则

P｛a＜X＜b｝=Φ()－Φ()                     (公式14)

例5  (续例2及例4)已知弹簧外径X服从正态分布N(15.1，0.442)，求该生产过程的不合格品率p。

①先求生产过程合格品率q

q=P｛14＜X＜16｝=Φ()－Φ()

=Φ(2.05)－Φ(－2.50)= Φ(2.05)－[1－Φ(2.50)]

=Φ(2.05)＋Φ(2.50)－1=0.9798＋0.9938－1=0.9736

②再求生产过程不合格率p

p=1－q=1－0.9736=0.0264=2.64%

参考文献：

1.《质量专业理论与实务》中级∕全国质量专业技术人员职业资格考试办公室组织编写   中国人事出版社   2006.1

2.《ISO9000族标准统计技术》∕韩之俊、曹秀玲编著  科学出版社   2000.1